La ley de cosenos es un teorema de trigonometría que relaciona la longitud de tres lados de un triángulo cualquiera con el valor del coseno de uno de sus ángulos interiores. Si partimos de un triángulo ABC cualquiera, donde convenimos llamar con las letras a, b y c a los lados opuestos a los vértices A, B y C, respectivamente, como se muestra en el siguiente dibujo:
Por lo tanto, la ley de cosenos nos dice que el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo opuesto al primero. Podríamos interpretar este teorema como una generalización a triángulos de cualquier tipo del teorema de Pitágoras que, como sabemos, sólo es aplicable a triángulos rectángulos.
En términos de la nomenclatura usada en el dibujo anterior, la ley de cosenos se puede formular según cualquiera de las siguientes tres expresiones:
a² = b² + c² – 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cosB
c² = a² + b² – 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cosĈ
El conjunto formado por el teorema del seno, la propiedad de que, en un espacio euclídeo, la suma de los ángulos interiores de cualquier triangulo es 180º y la ley de cosenos nos permite resolver cualquier triángulo, sea éste rectángulo o no, con la única condición de disponer de un mínimo de tres datos, uno de los cuales, necesariamente, ha de ser la longitud de un lado.
La demostración del teorema es bastante sencilla y es asequible a alumnos de enseñanza secundaria con un conocimiento previo del teorema de Pitágoras y de las definiciones de las razones trigonométricas seno y coseno.
Consideremos la altura hA del triángulo ABC que pasa por el vértice A. Como se muestra en el siguiente dibujo, dicha altura corta el lado a en el punto P dividiéndolo en dos segmentos de longitudes x y a – x.
El triángulo APB es rectángulo en P, de manera que podemos aplicar el teorema de Pitágoras a sus lados. En este caso, se obtiene que:
c² = x² + h²A
Ahora bien, la altura hA también es un cateto del triángulo APC, que es rectángulo en P. Luego, aplicando a dicho triángulo el teorema de Pitágoras, se obtiene que:
b² = h²A + ( a − x )²
Si restamos miembro a miembro las dos ecuaciones obtenidas, nos quedará lo siguiente:
c² − b² = ( x² + h²A ) − ( h²A + (a − x )² )
Desarrollamos el cuadrado, eliminamos los paréntesis y nos queda:
c² − b² = x² + h²A − h²A − a² − x² + 2 ⋅ a ⋅ x
es decir, simplificando:
c² − b² = −a² + 2 ⋅ a ⋅ x
Ahora bien, si observamos el ángulo B, es fácil ver que su coseno viene dado por la relación:
cosB = x/c
de donde podemos obtener el valor del segmento x despejándolo:
x = c ⋅ cosB
Por lo tanto, sustituyendo este valor en la ecuación obtenida antes, tendremos que:
c² − b² = −a² + 2 ⋅ a ⋅ x ⇒ c² − b² = −a² + 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cosB
Aislando el valor de b² se tiene que:
b² = a² + c² − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cosB
que es la fórmula de la ley de cosenos aplicada al lado b del triángulo y su ángulo opuesto B.
Usando un procedimiento similar para las alturas hB y hC se obtienen las otras dos expresiones para la ley de cosenos, que hemos dado al principio, referidas en estos casos a los lados a y c del triángulo.
(*)Tanto como  como Ĉ están bien escritos, sin embargo, con la letra B no me deja escribirlo correctamente.
