Teoría de Juegos (III): Juegos en Forma Extensiva y Normal

En este apartado definiremos los juegos en Forma Extensiva y Normal. Comenzaremos por los juegos en Forma Extensiva ayudados de una fotografía para que sea más sencillo.

  1. El árbol finito, dónde cada nodo representa un movimiento/decisión tomada, y cuyas ramas representan las opciones posibles.
  2. La probabilidad de las ramas en cada nodo.
  3. Tras cada nodo se obtienen resultados/retornos.
  4. Finalmente, existe para cada jugador una función de utilidad lineal fijado por cada nodo al final de la rama y, en este caso, es de conocimiento público.

Por un lado, entendemos por nodo un punto en el que el jugador debe decidir la jugada a realizar, y siempre bajo las normas establecidas previamente y que son de conocimiento de todos los participantes.

Por otro lado, la estrategia de un jugador es una regla o un conjunto de pautas a seguir que definen su comportamiento en cada nodo.

Árbol finito

Una estrategia es de equilibrio si el resultado obtenido por su aplicación maximiza las posibilidades de cada jugador, de forma tal que al desviarse de las mismas un jugador acarrea el riesgo de pérdidas más importantes que aquellas que podría obtener de guiarse por la estrategia de equilibrio. Es en este sentido que diremos que una estrategia de equilibrio es óptima.

Un juego en Forma Normal es una simplificación del anterior y, aún así, guarda importancia.

Podríamos definirlo de la siguiente manera:

  1. Un conjunto de n jugadores.
  2. n conjuntos de estrategias para cada jugador.
  3. n funciones de retorno/resultado, solo una por jugador, cuyos valores están condicionados por las elecciones que han tomado el resto de jugadores.
  4. Los jugadores eligen una única vez, simultáneamente y sin conocimiento de la elección de los demás jugadores.

Cabe destacar que los jugadores serán siempre racionales, al igual que en los juegos de Forma Extensiva, y su finalidad es maximizar su función de utilidad.

Dicho esto, podemos imaginar un escenario en el que cooperen o no cooperen los jugadores como hemos explicado en anteriores entregas y las diferencias que se derivan de cada enfoque.

Un de los juegos mas famosos es el llamado juego de Dos Personas con Suma Cero. Sin entrar mucho en detalle, cabe resaltar la elegancia matemática detrás de estos juegos.

Matriz del ejemplo (Fig. 1)

La expresión «suma cero» está relacionada con que el beneficio de un jugador es fruto de la pérdida por parte del otro jugador. Este juego no puede ser cooperativo.

En este caso, pongamos un ejemplo:

  1. Los jugadores I y II eligen simultáneamente (o el número uno o el número dos).
  2. I gana si la suma es impar.
  3. II gana si la suma es par.
  4. El que pierda paga al ganador la suma de los números elegidos.

El retorno sumado será siempre cero (fíjese en la matriz del ejemplo Fig.1). La matriz representa únicamente el retorno para uno de los jugadores, siendo el opuesto al retorno correspondiente al del otro jugador.

Ahora usted es el jugador I y el juego se repite muchas veces, ¿qué estrategia llevaría a cabo?